Hàm số duy nhất của biến số duy nhất với những đạo hàm bậc cao

những giá trị điểm uốn của hàm số

I | f | = ∫ x 0 x 1 L ( x , f , f ′ , f ″ , . . . , f ( k ) ) d x {\displaystyle I\left\vert f\right\vert =\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',...,f^{(k)})dx}

f ′ := d f d x {\displaystyle f':={df \over dx}}

f ″ := d 2 f d x 2 {\displaystyle f'':={d^{2}f \over dx^{2}}}

f ( k ) := d k f d x k {\displaystyle f^{(k)}:={d^{k}f \over dx^{k}}}

có thể lấy được từ phương trình Euler-Lagrange [5]

∂ L ∂ f − d d x ( ∂ L ∂ f ′ ) + d 2 d x 2 ( ∂ L ∂ f ″ ) − . . . + ( − 1 ) k d k d x k ( ∂ L ∂ f k ) = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-{d \over dx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{d^{2} \over dx^{2}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-...+(-1)^{k}{d^{k} \over dx^{k}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{k}}}\right)=0}

dưới những điều kiện giới hạn cố định cho bản thân hàm số cũng như cho những đạo hàm từ bậc k-1 trở xuống (tức là cho tất cả f(i) với i ∈ 0 , . . . , k − 1 {\displaystyle i\in {0,...,k-1}} )

những giá trị điểm cuối của đạo hàm bậc cao nhất f(k) sẽ vẫn linh hoạt

Nhiều hàm số của biến số duy nhất với đạo hàm duy nhất

nếu vấn đề liên quan đến tìm nhiều hàm số ( f 1 , f 2 , . . . , f m ) {\displaystyle (f_{1},f_{2},...,f_{m})} của một biến độc lập duy nhất (x) sẽ định nghĩa một cực trị của hàm số

I [ f 1 , f 2 , . . . , f m ] = ∫ x 0 x 1 L ( x , f 1 , f 2 , . . . , f m , f 1 ′ , f 2 ′ , . . . , f m ′ ) d x {\displaystyle I[f_{1},f_{2},...,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},...,f_{m},f'_{1},f'_{2},...,f'_{m})dx}

f i ′ := d f i d x {\displaystyle f'_{i}:={df_{i} \over dx}}

thì những phương trình Euler-Lagrange tương ứng sẽ là [6]

∂ L ∂ f i − d d x ∂ L ∂ f i ′ = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i}}-{d \over dx}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f'_{i}}=0}

i = 1 , 2 , . . . , m {\displaystyle i=1,2,...,m}

Hàm số duy nhất của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất

một suy rộng đa chiều đã đến từ cân nhắc một hàm số trên n biến số. Nếu Ω {\displaystyle \Omega } là bề mặt nào đó, thì

I [ f ] = ∫ Ω L ( x 1 , . . . , x n , f , f 1 , . . . , f n ) d x {\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n},f,f_{1},...,f_{n})dx}

f j := ∂ f ∂ x j {\displaystyle f_{j}:={\partial f \over \partial x_{j}}}

đạt cực trị chỉ khi f thoả mãn phương trình đạo hàm riêng

∂ L ∂ f − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f j ) = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{j}}{\biggr )}=0}

khi n = 2 và hàm số I {\displaystyle {\mathcal {I}}} là hàm số năng lượng, đây sẽ dẫn đến vấn đề bề mặt tối thiếu của màng xà phòng

Nhiều hàm số của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất

nếu có nhiều hàm số chưa biết cần được xác định và nhiều biến số, sao cho

I [ f 1 , f 2 , . . . , f m ] = ∫ Ω L ( x 1 , . . . , x n , f 1 , . . . , f m , f 1 , 1 , . . . , f 1 , n , . . . , f m , 1 , . . . , f m , n ) d x {\displaystyle I[f_{1},f_{2},...,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n},f_{1},...,f_{m},f_{1,1},...,f_{1,n},...,f_{m,1},...,f_{m,n})dx}

f i , j := ∂ f i ∂ x j {\displaystyle f_{i,j}:={\partial f_{i} \over \partial x_{j}}}

hệ phương trình Euler-Lagrange sẽ là [5]

∂ L ∂ f 1 − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f 1 , j ) = 0 1 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1,j}}{\biggr )}=0_{1}}

∂ L ∂ f 2 − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f 2 , j ) = 0 2 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2,j}}{\biggr )}=0_{2}}

...

∂ L ∂ f m − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f m , j ) = 0 m {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{m}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{m,j}}{\biggr )}=0_{m}}

Hàm số duy nhất của hai biến số với những đạo hàm bậc cao

nếu có một hàm số đơn chưa biết f cần được xác định, mà phụ thuộc vào hai biến số x1 và x2 và nếu hàm số phụ thuộc vào hàm số bậc cao của f lên đến bậc thứ n sao cho

I [ f ] = ∫ Ω L ( x 1 , x 2 , f , f 1 , f 2 , f 11 , f 12 , f 22 , . . . , f 22...2 ) d x {\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},...,f_{22...2})dx}

f i := ∂ f ∂ x i {\displaystyle f_{i}:={\partial f \over \partial x_{i}}}

f i j := ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle f_{ij}:={\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}}

...

thì phương trình Euler-Lagrange sẽ là [5]

∂ L ∂ f − ∂ ∂ x 1 ( ∂ L ∂ f 1 ) − ∂ ∂ x 2 ( ∂ L ∂ f 2 ) + ∂ 2 ∂ x 1 2 ( ∂ L ∂ f 11 ) + ∂ 2 ∂ x 1 ∂ x 2 ( ∂ L ∂ f 12 ) + ∂ 2 ∂ x 2 2 ( ∂ L ∂ f 22 ) − . . . + ( − 1 ) n ∂ n ∂ x 2 n ( ∂ L ∂ f 22...2 ) = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-{\partial \over \partial x_{1}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1}}{\biggr )}-{\partial \over \partial x_{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{11}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial x_{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{12}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{22}}{\biggr )}-...+(-1)^{n}{\partial ^{n} \over \partial x_{2}^{n}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{22...2}}{\biggr )}=0}

có thể viết gọn lại thành

∂ L ∂ f + ∑ j = 1 n ∑ μ 1 ≤ . . . ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ j ∂ x μ 1 . . . ∂ x μ j ( ∂ L ∂ f μ 1 . . . μ j ) = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\partial ^{j} \over \partial x_{\mu _{1}}...\partial x_{\mu _{j}}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0}

với μ 1 . . . μ j {\displaystyle \mu _{1}...\mu _{j}} là các chỉ số sẽ trải ra một số biến số, mà, ở đây chúng đi từ 1 đến 2. Ở đây, tóm lại những chỉ số μ 1 . . . μ j {\displaystyle \mu _{1}...\mu _{j}} sẽ chỉ với μ 1 ≤ μ 2 ≤ . . . ≤ μ j {\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq ...\leq \mu _{j}} để tránh đếm cùng một đạo hàm riêng nhiều lần, lấy ví dụ f 12 = f 21 {\displaystyle f_{12}=f_{21}} xuất hiện chỉ một lần trong phương trình trước đó

Nhiều hàm số của nhiều biến số với những đạo hàm bậc cao

nếu có p phương trình chưa biết fi cần được xác định, mà phụ thuộc vào m biến số x 1 . . . x m {\displaystyle x_{1}...x_{m}} và nếu hàm số phụ thuộc vào đạo hàm bậc cao của fi lên đến bậc thứ n sao cho

I [ f 1 , . . . , f p ] = ∫ Ω L ( x 1 , . . . , x m ; f 1 , . . . f p ; f 1 , 1 , . . . , f p , m ; f 1 , 11 , . . . , f p , m m ; f p , 1...1 , . . . , f p , m . . . m ) d x {\displaystyle I[f_{1},...,f_{p}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{m};f_{1},...f_{p};f_{1,1},...,f_{p,m};f_{1,11},...,f_{p,mm};f_{p,1...1},...,f_{p,m...m})dx}

f i , μ := ∂ f i ∂ x μ {\displaystyle f_{i,\mu }:={\partial f_{i} \over \partial x_{\mu }}}

f i , μ 1 μ 2 := ∂ 2 f i ∂ x μ 1 ∂ x μ 2 {\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\partial ^{2}f_{i} \over \partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}

...

với μ 1 . . . μ j {\displaystyle \mu _{1}...\mu _{j}} là các chỉ số trải ra một số biến số, sẽ đi từ 1 đến m. Sau đó, phương trình Euler-Lagrange sẽ là

∂ L ∂ f i + ∑ j = 1 n ∑ μ 1 ≤ . . . ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ j ∂ x μ 1 . . . ∂ x μ j ( ∂ L ∂ f i , μ 1 . . . μ j ) = 0 {\displaystyle {\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\partial ^{j} \over \partial x_{\mu _{1}}...\partial x_{\mu _{j}}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i,\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0}

với tổng những μ 1 . . . μ j {\displaystyle \mu _{1}...\mu _{j}} sẽ tránh đếm cùng đạo hàm f i , μ 1 , μ 2 = f i , μ 2 , μ 1 {\displaystyle f_{i,\mu _{1},\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2},\mu _{1}}} lại nhiều lần, giống như phần trên. Đây có thể viết gọn thành

∑ j = 1 n ∑ μ 1 ≤ . . . ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ μ 1 . . . μ j j ( ∂ L ∂ f i , μ 1 . . . μ j ) = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}...\mu _{j}}^{j}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i,\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0}